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RechnerNest

Wurzelrechner – Quadratwurzel & n-te Wurzel berechnen

Der Wurzelrechner ermittelt die Quadratwurzel, Kubikwurzel und jede beliebige n-te Wurzel einer reellen Zahl. Neben der standardmäßigen Quadratwurzel (n = 2) unterstützt das Werkzeug auch ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen.

Wurzel-Eingabe

Berechne Quadratwurzel (√) oder beliebige n-te Wurzeln (ⁿ√x).

Ergebnis

Quadratwurzel (√x)

4
Quadratwurzel (√x):4
Kubikwurzel (³√x):2,5198

So funktioniert die Berechnung (Gesetzesstand 2026)

Die Wurzelrechnung ist die Umkehroperation der Potenzierung. Für eine Zahl x (Radikand) und einen Wurzelexponenten n gilt: 1. Mathematische Definition: ⁿ√x = y genau dann, wenn yⁿ = x (für x ≥ 0). 2. Darstellung als Potenz: ⁿ√x = x^(1/n). 3. Sonderfall negative Radikanden: - Wenn der Wurzelexponent n ungerade ist (z. B. n = 3), ist die Wurzel aus einer negativen Zahl reell definiert: ³√(-8) = -2, da (-2)³ = -8. - Wenn n gerade ist (z. B. n = 2 oder 4), existiert im reellen Zahlenbereich keine Lösung, da das Quadrat jeder reellen Zahl stets positiv ist.

Beispielrechnungen (Praxis-Szenarien 2026)

Beispiel 1: 4. Wurzel aus 81 (Vierte Wurzel)

Berechnung der vierten Wurzel ⁴√81: Gesucht ist die Zahl, die 4-mal mit sich selbst multipliziert 81 ergibt (3 × 3 × 3 × 3 = 81).

Eingabewerte:
Radikand x:81
Wurzelexponent n:4
Ergebnisse:
Ergebnis:3,00

Beispiel 2: Kubikwurzel aus -27 (Ungerader Exponent)

Berechnung der 3. Wurzel aus einer negativen Zahl: Da (-3)³ = -27 ergibt, existiert im Reellen eine eindeutige negative Lösung.

Eingabewerte:
Radikand x:-27
Wurzelexponent n:3
Ergebnisse:
Ergebnis:-3,00

Beispiel 3: 5. Wurzel aus 32 (Fünfte Wurzel)

Bestimmung der Basis einer 5-stufigen Verdopplung (2⁵ = 32).

Eingabewerte:
Radikand x:32
Wurzelexponent n:5
Ergebnisse:
Ergebnis:2,00

Beispiel 4: Quadratwurzel aus Dezimalzahl (√0,04)

Quadratwurzel aus Nachkommazahlen: Da 0,2 × 0,2 = 0,04 ergibt, ist √0,04 = 0,2.

Eingabewerte:
Radikand x:0,04
Wurzelexponent n:2
Ergebnisse:
Ergebnis:0,20

Sonderfälle & Häufige Fehler

Sonderfälle und typische Rechenfehler bei Wurzeln: 1. Negative Radikanden bei geraden Wurzeln: Quadratwurzeln (n=2, 4, 6) aus negativen Zahlen besitzen im Bereich der reellen Zahlen keine Lösung, da das Quadrat jeder reellen Zahl stets positiv ist. Im Reellen wird eine Fehlermeldung ausgegeben. 2. Negative Radikanden bei ungeraden Wurzeln: Ist der Wurzelexponent ungerade (n=3, 5, 7), ist die Wurzel aus einer negativen Zahl reell definiert (z. B. ³√(-8) = -2, da (-2)³ = -8). 3. Unterschied zwischen √x² und (√x)²: Für negative x ist √(x²) = |x| (Betrag von x). Beispielsweise ist √((-3)²) = √9 = +3, während (√(-3))² im Reellen nicht definiert ist. 4. Wurzel aus Null und Wurzelexponent Null: ⁿ√0 = 0 für alle n > 0. Eine 0-te Wurzel (⁰√x) ist mathematisch unzulässig, da sie einer Division durch 0 im Exponenten entspräche.

Amtliche Primärquellen & Rechtsgrundlagen

Rechtsstand 2026
Mathematische Standardliteratur · Reelle Wurzelrechnung und Umkehroperation der Potenzierung
Radizierung und Potenzrechnung mit gebrochenen Exponenten↗
Gültig 2026 · Geprüft 2026-09-17

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist der Radikand und was ist der Wurzelexponent?↓
Der Radikand ist die Zahl unter dem Wurzelzeichen (x), aus der die Wurzel gezogen wird. Der Wurzelexponent (n) auf dem Wurzelhaken gibt an, die wievielte Wurzel berechnet werden soll.
Kann man aus einer negativen Zahl die Wurzel ziehen?↓
Im reellen Zahlenbereich ist das Ziehen der Wurzel aus einer negativen Zahl nur möglich, wenn der Wurzelexponent ungerade ist (z. B. ³√(-8) = -2). Bei geraden Wurzelexponenten (Quadratwurzel) existiert keine reelle Lösung.
Warum ist die Quadratwurzel aus 9 nur +3 und nicht auch -3?↓
Obwohl sowohl (+3)² = 9 als auch (-3)² = 9 ergeben, ist die mathematische Hauptwurzel (√x) per Konvention stets als die nicht-negative reelle Zahl definiert. Das Ergebnis der Quadratwurzel √9 lautet daher exakt +3.
Wie rechne ich eine Wurzel in eine Potenz um?↓
Jede Wurzel lässt sich als Potenz mit gebrochenem Exponenten schreiben: ⁿ√x entspricht x^(1/n). So ist die Quadratwurzel √x = x^(1/2) und die Kubikwurzel ³√x = x^(1/3).
Wann benötigt man den Wurzelrechner im echten Leben?↓
Wurzelberechnungen werden in der Praxis häufig benötigt: Beim Satz des Pythagoras zur Diagonale- und Längenberechnung (c = √(a² + b²)), bei der Ermittlung der effektiven Jahresrendite aus mehrjährigen Gesamtwachstumsraten sowie beim Berechnen geometrischer Abmessungen (z. B. Kantenlänge eines quadratischen Grundstücks aus dessen Flächeninhalt).
Was ist der Unterschied zwischen teilweisem Wurzelziehen (Radizieren) und Exaktwerten?↓
Beim teilweisen Wurzelziehen wird der Radikand in Produktfaktoren zerlegt, von denen einzelne Quadratzahlen sind. Beispiel: √18 = √(9 × 2) = 3 × √2. Der Rechner gibt sowohl den exakten Dezimalwert als auch die Radikantenrechnung aus.

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